一碗飯想到的數學

恰好兩年前的舊文。 當時盯著這碗飯，一直在想，到底這碗飯裡有著什麼樣的數學，然後想到了，就是稠密子集，於是終於能po文了。

這碗裡面的任何一個地方附近都有飯粒，所以稱這些飯是這個碗裡面的稠密子集。

有理數是實數的稠密子集，無理數也是實數的稠密子集。 因此中學數學有一個很猛的題組：

(1)有有有： 有理數和有理數之間是否必有有理數？
(2)有有無： 有理數和有理數之間是否必有無理數？
(3)有無有： 有理數和無理數之間是否必有有理數？
(4)有無無： 有理數和無理數之間是否必有無理數？
(5)無有有： 無理數和有理數之間是否必有有理數？
(6)無有無： 無理數和無理數之間是否必有無理數？
(7)無無有： 無理數和無理數之間是否必有有理數？
(8)無無無： 無理數和無理數之間是否必有無理數？

之前整理高一數學，便覺得有理數稠密是該章節突來的一筆，既無前傳、也沒有續集，就自已獨樹一格，突然冒出來，然後就沒有了。

但它並非如此，這僅僅是教材給人的印象，我也沒辦法。 實情是： 一般人、包括古代數學家會認為在數線上

標示了   … 、
再標示 … 、
再標示 … 、
再標示 … 、
再標示 … 、
依此類推。

密密麻麻的點，看得出數線上標滿有理數，它們就是整個數線了。 然後畢達哥拉斯 (Pythagoras) 學派在處理一類的數時，發現大問題， 整個無理數的大門才正式打開。 而我認為初一教材要先設法不扯謊的情況下讓學生相信數線真的被有理數完全填滿，到初二引進畢氏定理之後打破信念，點出當時思考的錯誤，產生時代推進的感觸。

即便有理數的稠密、與整數的離散性，皆是課本裡無意義的兩句廢話，考試也沒得考，但是這兩個性質，在更進階的數學操作上，有意無意地卻成為重要的步驟。 例如

(一)證明e是無理數，正是利用整數的離散性得到矛盾；
(二)例如證明可測函數相加必可測；
(三)例如證明Ascoli定理；
(四)例如微積分在處理擴建指數函數從有理數指數到實數指數之時要處理函數方程。
(五)高微也有重要定理是證明子集合是稠密。

甚至在函數空間裡面的性質，也常常挑連續函數等簡單函數先證明，再利用它們在裡面的稠密性，以完成定理到可以使用的程度。

這大概是稠密這個概念的時代感，曾經引起第一次數學危機，到今天高微、實變等科目裡的重要技巧。 數學，作為人類文明裡的重要指標，真的是不簡單。