壞壞函數(I)

[問] 請問連續函數的導函數一定是連續函數嗎?

[答] 這樣問其實不是很精準,因為連續函數未必可以微分。 f(x)=|x|x=0 就不可微分了,考試若是考了偏理論一點的題目就會看到一些連不連續跟可不可微的是非題或證明題。 這個一般工商學院比例偏低,而數學系是必出的。

順便科普一下,數學系會進一步問 f(x) 既然能夠在一個點連續卻不可微分(像是尖點) ,那能不能每一個點都連續但每一個點都不可微→ 這是數學系高微的重要內容,它不容易處理。

回到這題,如果一個函數可以微分 (f'(x) 算得出來), 那麼其實很容易問出很難的問題: 有沒有可能微分之後處處不連續? 或是問微分之後,不連續點可以多到什麼程度。

因為在微積分課,有一個習題是 f(x)=x^2 \sin(1/x) ,它在 x=0 可微,但微分不連續。 也就是在單一個點有可能發生這種事。 所以會有上一段的問題。

而回答它需要實變的方法。 實變其實就是高等的高微。 結論是可微函數可以做到微分之後 “差不多" 處處不連續。

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